[이론] 힘과 운동 / 관성 모멘트

관성 모멘트

 - 관성모멘트란 회전 상태를 계속 유지하려는 성질의 크기이다.

$ I = \Sigma m_i {r_i}^2 = \int r^2 dm $으로 정의된다. (m : 질량, r : 회전반경)

$ M = \rho L $

$ dm = \rho\centerdot dr $

$ I = \int r^2 dm = \int_{-{L\above 1pt 2}}^{L\above 1pt 2} \rho r^2 dr = \rho \left.{r^3 \above 1pt 3}\right\rvert_{-{L\above 1pt 2}}^{L\above 1pt 2} $

$ = {M \above 1pt {3L}} \left({{L^3 \above 1pt 8} + {L^3 \above 1pt 8}}\right) = {1 \above 1pt 12} ML^2 $

$ M = \rho \pi R^2 $

$ dm = 2\pi\rho r dr$

$ I = \int_0^R r^2 dm = 2\pi\rho\int_0^R r^3 dr $

$ 2 \pi \rho {{R^4} \above 1pt 4} = 2 \pi {M \above 1pt \pi {R^2}} {{R^4} \above 1pt 4} $ 

$ = {1 \above 1pt 2} MR^2 $

 - 여러가지 관성 모멘트

 - 회전 운동 에너지

    일반적으로 운동에너지 $E_k = {1 \above 1pt 2}mv^2$으로 표현된다. 하지만 한 물체가 같은 각속도로 회전 시 회전 축과의 거리에 따라 속도가 제각각이다.

$ v_1 \neq v_2 \neq v_3$

$ E_k = {1 \above 1pt 2} mv^2 = {1 \above 1pt 2}m_1{v_1}^2 + {1 \above 1pt 2}m_2{v_2}^2 \cdots $

$ (v = rw) $

$ E_k = {1 \above 1pt 2} (m_1{r_1}^2 w^2 + m_2{r_2}^2 w^2 \cdots )$

$ {1 \above 1pt 2}\Sigma m_i{r_i}^2 \cdot w^2 = {1 \above 1pt 2}I w^2 $($ \Sigma m_i{r_i}^2 = I $ : 관성모멘트)

따라서 w로 회전하는 물체의 운동에너지는 $ {1 \above 1pt 2}I w^2$이다.

 - 평행측의 원리

중심축이 아닌 중심으로부터 거리 $l$ 만큼 떨어진 곳을 축으로하여 질량 $M$인 물체가 회전할 때 관성 모멘트는 중심축의 관성 모멘트 $I_0$에 $l^2 \cdot M$을 더한 것과 같다.

$ I = I_0 + l^2 M$