[이론] 힘과 운동 / 만유인력

만유 인력 

 - 만유인력의 법칙

$$F = G { m_1 m_2 \above 1pt r^2 } (만유인력 \space 상수(G) \space : \space 6.67\cdot 10^-11 N\cdot m^2 / {kg}^2)$$

 - 중력 

$$F = G{Mm \above 1pt r^2} = mg\space , \space g = G\cdot {M \above 1pt R^2}{(지구\space 중량) \atop (지구\space 반지름)}$$

 - 지구 내부에서의 중력

$$g = G\cdot {M \above 1pt R^2}\space\space\space(\rho = {M \above 1pt V} = {M \above 1pt {4 \above 1pt 3} \pi R^3} )$$

$$g = G\cdot {M \above 1pt R^2} = {G \above 1pt R^2} \cdot { 4 \above 1pt 3} \rho \cdot \pi R^3 = {4 \above 1pt 3} G\rho\pi R (g \varpropto R)$$

 - 지구 중심을 지나는 단진동 물체의 주기

$$T = 2\pi\sqrt{R^3 \above 1pt GM}$$ 주기 $T$는 $r$에 상관없이 일정

 - 지표 근처에서 원운동 하는 인공위성의 속도

$$만유인력=원심력={GMm \above 1pt (R+h)^2} = {mv^2 \above 1pt R+h}$$ $$v^2 = {GM \above 1pt R+h} = {GM \above 1pt r}(R+h = r)$$ $$={GM \above 1pt r^2} \cdot r \left(R\gg r 이므로 {GM \above 1pt r^2} \approx {GM \above 1pt R^2}\right)$$ $$=gr \left( {GM \above 1pt R^2} = g \right)$$ $$v = \sqrt{gr}$$

 

 - 고도 h가 충분히 클 경우의 주기 T

$$v = \sqrt{GM \above 1pt R+h} = (R+h)\omega = (R+h)\cdot {2\pi \above 1pt T}$$

$${GM \above 1pt R+h }=(R+h)^2 \cdot {(2\pi)^2 \above 1pt T^2}$$

$$T^2 = {(2\pi)^2 \above 1pt GM} \cdot (R+h)^3, \space\space\space T^2 \varpropto (R+h)^3$$

$$= {(2\pi)^2 \above 1pt gR^2}(R+h)^3, \space \space\space \left( {GM \above 1pt R^2} = g \right)$$